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德國一流大學教你數學家的22個思考工具

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推薦序
序

序

　　思考是一種精神活動。在思考過程中，我們獲取訊息並加以消化、理解且進一步掌握、找出問題並尋求解答。特別是要從既有的訊息中，找出有助於解題的有用見解。

　　從問題中尋找解答的過程，極為特別又具創造性。想得出最後的答案，必須透過步循序漸進的理解。思索必須如同知識載體，先有概念，接著產生作用，再進一步達到成功的結果。思考運作不能強求而得，但總可藉由捷思法，也就是一般人所稱的創意的方式，產生更多的概念，不論結果為何，至少提供了成功的機會。一般公認捷思法為相當有效的思考工具。換句話說，當我們遭遇不知如何解決的問題時，捷思法是最好的導引工具。

　　每一個人都能思考。就像跑步、游泳與跳高，有些人擅長、有些人表現平平、有些則很差。但是思考就像前述的技能，可藉由練習讓技巧純熟，並運用輔助加強。如同游泳選手穿上蛙鞋後能夠加速，思考者也可使用思考工具，充分提升解題能力。

　　這就是本書的目標。這本書將介紹22 個容易理解、但極為有效的思考工具。讀者們只需具備基礎數學知識，即可輕鬆讀懂。這些經過證明的思考技巧形式，可讓你思路更加活絡，幫助你解決定量問題。

　　思考能造就快樂的感受，每一個靈光乍現都像一次完美的攻頂，每一個成功的理解都是從大腦皮質綻放出的煙火。數學是展現思考最純粹形式的科學。數學是一種「思想體系」，是從概念中衍生而出的理論。日常生活中到處都找得到數學的蹤跡，數學不僅無所不在、隨處可用，更是引人入勝，甚至極富美感。近代所有的科技成就都用到了數學，它幫助我們更理解這個宇宙，也是我們能繼續存活在宇宙中的不可或缺的要素。此外，數學還擁有許多令人屏息的美麗元素。

　　本書顯而易見的目的，是提供讀者至少雙重的激勵：參與一個使你更加聰明的冒險旅程，以及享受解題過程所產生的美感。這本書憑藉著引人入勝且分段體驗的方式，為讀者提供了數學上的閱讀、思考以及進一步的深思熟慮。這本書可視為是數學與生活最令人驚喜的融合。何不試著挑戰一下我們的數學能力，並補強一下不足的部分。

　　不可避免的，這本書放入了作者本人的主觀因素。雖說數學是實事求是的，但它不僅是心智活動，同時也是熱情所在；不僅是已知事實的總和，也是卓越思考的殿堂。我們可以將數學理解為一種敘述性的科學。人們可以輕易的察覺且確認，數學是門特別且內容豐富的學問。尤其是在引人注意的問題陳述、巧妙的策

　　略運用、迷人的數學證明和極為有效的結果論證上更能體認到。這本書也納入了很多格言、思考的啟發、軼事、歷史背景，就像同類型的數學書，我們以輕鬆有趣的原則使內容更加豐富多彩，生動活潑。所以這本書是風格輕鬆的，盡可能寫得有趣又愉悅。

　　＊＊＊

　　這本書分成兩個迥然不同的部分。第一部分是導言，廣泛介紹什麼是問題、思考以及數學思維。數學家遇到問題時，他們不會馬上陷入恐慌，而是大膽果決的著手處理它。對數學家來說，問題的存在是智識生活的一部分。面對問題時，他們也不會很快就感到挫折，而會不斷地重新站起來，帶著更多的傷口繼續處理面對。這是因為，他們已經受過非常密集的基礎訓練，加強了挫折承受力以及解題能力。

　　在第二部分將提出22 個思考小工具，其中包括了類比原則、歸謬法、窮舉法等等。在內容上與問題的難度上，我們做了粗略的區分，針對解題思考法分為基礎、進階、高階三種類型。

　　此外，除了有豐富生動的數學思維小故事外，書裡還舉出了許多例子，讓讀者們進一步瞭解思考小工具的實際運用。

　　寫這本書花了很長的一段時間，甚至可以說是匯集了超過四分之一世紀的數學研究成果。首次的濃縮內容是在斯圖加特大學2006 年的夏季學期中，針對非數學系學生所開設的課程（課程名稱為：與數學的相遇）的教材。

　　在此，我要感謝為這本書的出版做出貢獻、協助我讓這本書更容易理解的所有人。所有的感謝已溢於言表，以下我將提及他們的名字。伊娜．羅森伯格（Ina Rosenberg）和菲利普．施密特（Philipp Schnizler）參與了手稿的編排與資料的處理。弗拉德．薩書（Vlad Sasu）完成了絕大多數的插圖。感謝鮑爾曼博士（Dr. Bollmann）對我的手稿非常詳細的校正，貝克出版社（C. H. Beck Verlag）對這本書的採納以及出版過程中愉快的合作經驗。

　　一如慣例，在此我也要誠摯的感謝我的家人：安德烈．羅內爾（Andrea Römmele）、漢娜．赫塞（Hanna Hesse）和雷那德．赫塞（Lennard Hesse）。如果不是因為他們，就不會有這本書的完成，在此將這本書獻給我的家人。

克里斯提安．赫塞（Christian Hesse）
於德國曼海姆
內容簡介
數學是最迷人的思考活動，
將手邊有限的訊息加以消化、理解、進一步掌握，找出問題並尋求解答。

　　本書將介紹22個容易理解、但極為有效的思考工具，
　　讀者們只需具備基礎數學知識跟一顆嘗試冒險的心，
　　即可徹底學會數學抽象化思考的技巧，
　　運用邏輯能力將問題化為捷徑。

　　本書是寫給不排斥數學，但總是不得其門而入的讀者。
　　你將學到數學家如何思考問題以及求解，
　　深入體會數學最迷人的真正精髓。

　　這本書原本是德國斯圖加特大學2006年的夏季學期中，
　　針對非數學系學生所開設的課程教材改寫而成。（課程名稱為：與數學的相遇）
　　為什麼很多人始終無緣一窺數學堂奧？
　　為什麼你看得懂別人的算式，卻沒有辦法解一個別人沒解過的問題？
　　作者在本書向大眾介紹22個以數學原則做基礎的思考工具，
　　不只可以簡化大多數人面對難題而本能產生的複雜想法，
　　更要活絡你的思路，學習用數學的抽象思考方式解決各種難題。

　　有效的思考工具，就是幫助你運用想像力跟邏輯思維，把問題化繁為簡，再以此進一步求解，例如：

　　Q：一整片格子狀巧克力，若要全部折斷成單格的小片，最少需要折幾次才能辦到？
　　→用「類比原理」思考：試著折斷一片巧克力，折斷後的塊數，永遠比折斷次數多1……

　　Q：數學天才高斯七歲的時候，老師要全班ࡧ
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